(1)

$$a_n=\lfloor rn\rfloor,\quad b_n=\lfloor sn\rfloor$$an​=⌊rn⌋,bn​=⌊sn⌋

とする。

まず重複しないことを示す。
もし$$\lfloor rn\rfloor=\lfloor sm\rfloor=k$$⌊rn⌋=⌊sm⌋=k

なら$$k\le rn<k+1,\qquad k\le sm<k+1$$k≤rn<k+1,k≤sm<k+1

より$$\frac{k}{r}\le n<\frac{k+1}{r},\qquad \frac{k}{s}\le m<\frac{k+1}{s}$$rk​≤n<rk+1​,sk​≤m<sk+1​

したがって$$k\left(\frac1r+\frac1s\right)\le n+m<(k+1)\left(\frac1r+\frac1s\right)$$k(r1​+s1​)≤n+m<(k+1)(r1​+s1​)

すなわち$$k\le n+m<k+1$$k≤n+m<k+1

となり矛盾。よって重複しない。

次に、$N$N 以下に現れる項数は$$\#\{a_n\le N\}=\left\lfloor \frac{N+1}{r}\right\rfloor,\qquad \#\{b_n\le N\}=\left\lfloor \frac{N+1}{s}\right\rfloor$$#{an​≤N}=⌊rN+1​⌋,#{bn​≤N}=⌊sN+1​⌋

である。
ここで$$\frac{N+1}{r}+\frac{N+1}{s}=N+1$$rN+1​+sN+1​=N+1

かつ $r,s$r,s は無理数だから$$\left\lfloor \frac{N+1}{r}\right\rfloor+ \left\lfloor \frac{N+1}{s}\right\rfloor=N$$⌊rN+1​⌋+⌊sN+1​⌋=N

となる。

よって $1,2,\dots,N$1,2,…,N は 2 つの数列のどちらか一方にちょうど1回ずつ現れる。
$N$N は任意なので示された。

(2)

$$\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \beta=\frac{3+\sqrt5}{2}$$α=21+5​​,β=23+5​​

とおくと$$\beta=\alpha+1$$β=α+1

だから$$\lfloor \beta n\rfloor=\lfloor \alpha n\rfloor+n$$⌊βn⌋=⌊αn⌋+n

よって$$P_n=\bigl(\lfloor \alpha n\rfloor,\lfloor \beta n\rfloor\bigr)$$Pn​=(⌊αn⌋,⌊βn⌋)

は差が$$\lfloor \beta n\rfloor-\lfloor \alpha n\rfloor=n$$⌊βn⌋−⌊αn⌋=n

である。

(1) より、正整数は$$\{\lfloor \alpha n\rfloor\},\ \{\lfloor \beta n\rfloor\}$${⌊αn⌋}, {⌊βn⌋}

のどちらか一方にちょうど1回現れる。

1. PnP_nPn​ から別の PmP_mPm​ へは移れない

• 両方から同数個取ると差は不変だから $m=n$m=n でないと無理
• 片方だけ取ると、どちらか一方の成分が一致する必要があるが、Beatty の定理より成分は重複しない

したがって $P_n$Pn​ から別の $P_m$Pm​ へは移れない。

2. PnP_nPn​ でない任意の局面からは、ある PmP_mPm​ へ移れる

局面を $(a,b)$(a,b)（$a<b$a<b）とし、$$d=b-a$$d=b−a

とする。
$P_d=(a_d,b_d)$Pd​=(ad​,bd​) と書く。

• もし $a>a_d$a>ad​ なら $$a-a_d=b-b_d$$a−ad​=b−bd​ なので両方から同数個取って $P_d$Pd​ に移れる。
• もし $a<a_d$a<ad​ なら、Beatty の定理より $a$a は一意的に $$a=\lfloor \alpha m\rfloor \quad \text{または}\quad a=\lfloor \beta m\rfloor$$a=⌊αm⌋またはa=⌊βm⌋ と表せる。しかも $a<a_d$a<ad​ より $m<d$m<d。
  このとき大きい山だけを適切に減らせば $P_m$Pm​ に移れる。

したがって $P_n$Pn​ がちょうど必敗形である。

ゆえに$$x=\left\lfloor \frac{1+\sqrt5}{2}n\right\rfloor,\qquad y=\left\lfloor \frac{3+\sqrt5}{2}n\right\rfloor$$x=⌊21+5​​n⌋,y=⌊23+5​​n⌋

のとき、後手は必ず勝てる。